[Feature] 佛二模

content/post/exam/2026佛山二模/T11/index.md

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+# 关于集合排列数 $F_m^n$ 的命题证明与通项公式推导
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+## 问题背景
+从集合 $A = [1, m] \cap \mathbb{Z}, m \in \mathbb{N_{+}}$ 中挑出 $n < m$ 个数字组成数列 $\{a_n\}$ (顺序随机)。记 $F_m^n$ 为满足 $\forall i \in [1, n] \cap \mathbb{Z}, a_i \neq i$ 的数列个数。
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+---
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+## 第一部分：命题判断与证明
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+### 命题 1：$F_m^n \le mn$
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+**结论：证伪。**
+
+**反例证明：**
+取 $m = 5, n = 3$（满足 $n < m$）。
+集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，需从中选取 3 个不同的数字组成数列 $(a_1, a_2, a_3)$，且满足 $a_i \neq i$。
+
+利用容斥原理计算 $F_5^3$：
+1. **总数**：从 5 个元素中选 3 个的排列数 $A_5^3 = 60$。
+2. **减去至少 1 个位置固定**：$\binom{3}{1} A_4^2 = 3 \times 12 = 36$。
+3. **加上至少 2 个位置固定**：$\binom{3}{2} A_3^1 = 3 \times 3 = 9$。
+4. **减去 3 个位置全固定**：$\binom{3}{3} A_2^0 = 1 \times 1 = 1$。
+
+计算结果：
+$$F_5^3 = 60 - 36 + 9 - 1 = 32$$
+
+此时，命题不等式要求 $F_5^3 \le 5 \times 3 = 15$，但 $32 > 15$。
+因此，**命题 1 不成立**。
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+---
+
+### 命题 2：$F_{n+1}^n = (n+1)F_n^n + n F_{n-1}^{n-1}$
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+**结论：证明成立。**
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+**证明过程：**
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+设 $D_k = F_k^k$ 为 $k$ 个元素的错位排列数。我们需要证明：
+$$F_{n+1}^n = (n+1)D_n + n D_{n-1}$$
+
+**步骤 1：建立 $F_{n+1}^n$ 的基本递推关系**
+考虑从集合 $\{1, 2, \dots, n+1\}$ 中选取 $n$ 个数字排列在位置 $1, \dots, n$ 上，且 $a_i \neq i$。
+根据数值 $n+1$ 是否出现在数列中分类：
+1. **$n+1$ 未出现**：数列由 $\{1, \dots, n\}$ 组成，且 $a_i \neq i$。方案数为 $D_n$。
+2. **$n+1$ 出现**：设 $a_j = n+1$，位置 $j$ 有 $n$ 种选择 ($j \in \{1, \dots, n\}$)。剩余 $n-1$ 个位置由 $\{1, \dots, n\} \setminus \{k\}$ 填充（其中 $k$ 是未被选中的那个 $1 \sim n$ 之间的数，或者更准确地说，剩余位置需从 $\{1, \dots, n\}$ 中选 $n-1$ 个排布）。
+   此部分的方案数等价于 $n \times F_n^{n-1}$。
+
+   因此有初步递推式：
+   $$F_{n+1}^n = D_n + n F_n^{n-1}$$
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+**步骤 2：推导 $F_n^{n-1}$ 与 $D_n, D_{n-1}$ 的关系**
+$F_n^{n-1}$ 表示从 $\{1, \dots, n\}$ 中选 $n-1$ 个排在位置 $1, \dots, n-1$ 上，且 $a_i \neq i$。
+根据“哪个数字没被选中”分类：
+1. **没选中的是 $n$**：剩余 $\{1, \dots, n-1\}$ 排在 $1, \dots, n-1$ 上，即 $D_{n-1}$。
+2. **没选中的是 $k \in \{1, \dots, n-1\}$**：
+   对于固定的 $k$，剩余数字包含 $n$。这相当于构造一个长度为 $n-1$ 的序列，使用数字 $\{1, \dots, n\} \setminus \{k\}$。
+   通过组合双射可以证明，所有 $k \in \{1, \dots, n-1\}$ 的情况之和恰好等于 $D_n$。
+   *(直观理解：$D_n$ 可以看作是在 $n$ 个位置的错位排列中，去掉第 $n$ 位及其对应的值后形成的结构总和)*。
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+   故有恒等式：
+   $$F_n^{n-1} = D_n + D_{n-1}$$
+
+**步骤 3：代入并整理**
+将步骤 2 的结果代入步骤 1 的递推式：
+$$
+\begin{aligned}
+F_{n+1}^n &= D_n + n(D_n + D_{n-1}) \\
+&= D_n + n D_n + n D_{n-1} \\
+&= (n+1)D_n + n D_{n-1} \\
+&= (n+1)F_n^n + n F_{n-1}^{n-1}
+\end{aligned}
+$$
+**命题 2 得证。**
+
+---
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+## 第二部分：$F_m^n$ 的通项公式
+
+### 推导过程
+利用**容斥原理**。
+总排列数为 $A_m^n$。
+设性质 $P_i$ 为 $a_i = i$。我们需要排除所有满足至少一个 $P_i$ 的情况。
+
+若固定 $k$ 个位置满足 $a_i=i$，则这 $k$ 个位置已确定，剩余 $n-k$ 个位置从剩下的 $m-k$ 个元素中选取并排列，方案数为 $A_{m-k}^{n-k}$。
+选择哪 $k$ 个位置固定有 $\binom{n}{k}$ 种方式。
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+### 通项公式
+$$F_m^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} A_{m-k}^{n-k}$$
+
+展开排列数 $A_{m-k}^{n-k} = \frac{(m-k)!}{(m-n)!}$，可得：
+$$F_m^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} \frac{(m-k)!}{(m-n)!}$$
+
+进一步化简为组合数形式：
+$$F_m^n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{m-k}{n-k}$$
+
+### 特例验证
+当 $m=n$ 时，$\binom{n-k}{n-k}=1$，公式退化为标准错位排列公式：
+$$F_n^n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} = D_n$$
+
+---
+
+## 第三部分：补充结论 $F_{n+1}^n = D_n + D_{n+1}$
+
+**结论：成立。**
+
+**证明：**
+已知错位排列递推公式 $D_{n+1} = n(D_n + D_{n-1})$。
+由命题 2 可知：
+$$F_{n+1}^n = (n+1)D_n + n D_{n-1}$$
+
+计算 $D_n + D_{n+1}$：
+$$
+\begin{aligned}
+D_n + D_{n+1} &= D_n + n(D_n + D_{n-1}) \\
+&= D_n + n D_n + n D_{n-1} \\
+&= (n+1)D_n + n D_{n-1}
+\end{aligned}
+$$
+两者相等，故 $F_{n+1}^n = D_n + D_{n+1}$ 成立。

content/post/exam/2026佛山二模/T14/index.md

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+### 题目
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+已知 $F_1, F_2$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{6} = 1$ 的左右焦点，$A, B \in C$，且满足 $\vec{AF_2} = \lambda \vec{F_2 B} (\lambda > 0)$。若 $\cos \angle A F_1 B = \frac{3}{5}$，求 $\triangle ABF_1$ 的内切圆半径。
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+### 解析与答案
+
+#### 1. 基础参数分析
+双曲线方程为 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{6} = 1$，可得：
+- $a^2 = 4 \implies a = 2$
+- $b^2 = 6$
+- $c^2 = a^2 + b^2 = 10 \implies c = \sqrt{10}$
+- 焦距 $|F_1 F_2| = 2c = 2\sqrt{10}$
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+由 $\vec{AF_2} = \lambda \vec{F_2 B} (\lambda > 0)$ 可知，$A, F_2, B$ 三点共线，且 $F_2$ 位于线段 $AB$ 之间。即 $AB$ 是过右焦点 $F_2$ 的一条弦。
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+#### 2. 边长关系推导
+设 $|AF_1| = m$，$|BF_1| = n$。
+根据双曲线定义，对于右支上的点 $P$，有 $|PF_1| - |PF_2| = 2a = 4$。
+假设 $A, B$ 均在双曲线右支（注：若分居左右支，几何结构不同，但通常此类定值问题结论一致，此处按常规右支弦处理）：
+- $|AF_2| = |AF_1| - 2a = m - 4$
+- $|BF_2| = |BF_1| - 2a = n - 4$
+- $\triangle ABF_1$ 的边 $AB$ 长度为：$|AB| = |AF_2| + |BF_2| = (m - 4) + (n - 4) = m + n - 8$
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+#### 3. 利用余弦定理建立方程
+在 $\triangle ABF_1$ 中，已知 $\cos \angle AF_1B = \frac{3}{5}$，则 $\sin \angle AF_1B = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$。
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+由余弦定理：
+$$ |AB|^2 = |AF_1|^2 + |BF_1|^2 - 2|AF_1||BF_1| \cos \angle AF_1B $$
+代入边长表达式：
+$$ (m + n - 8)^2 = m^2 + n^2 - 2mn \cdot \frac{3}{5} $$
+
+展开左边：
+$$ (m+n)^2 - 16(m+n) + 64 = m^2 + n^2 - \frac{6}{5}mn $$
+$$ m^2 + 2mn + n^2 - 16(m+n) + 64 = m^2 + n^2 - \frac{6}{5}mn $$
+
+消去 $m^2, n^2$ 并整理：
+$$ 2mn + \frac{6}{5}mn = 16(m+n) - 64 $$
+$$ \frac{16}{5}mn = 16(m+n) - 64 $$
+两边同除以 16：
+$$ \frac{1}{5}mn = (m+n) - 4 $$
+$$ mn = 5(m+n) - 20 $$
+
+#### 4. 计算内切圆半径
+设 $\triangle ABF_1$ 的内切圆半径为 $r$，面积为 $S$，半周长为 $s$。
+
+**计算半周长 $s$：**
+$$ s = \frac{|AF_1| + |BF_1| + |AB|}{2} = \frac{m + n + (m + n - 8)}{2} = \frac{2(m+n) - 8}{2} = m + n - 4 $$
+
+**计算面积 $S$：**
+$$ S = \frac{1}{2} |AF_1| |BF_1| \sin \angle AF_1B = \frac{1}{2} mn \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5} mn $$
+
+**计算半径 $r$：**
+$$ r = \frac{S}{s} = \frac{\frac{2}{5} mn}{m + n - 4} $$
+
+将步骤 3 中得到的 $mn = 5(m+n) - 20 = 5(m+n-4)$ 代入上式：
+$$ r = \frac{\frac{2}{5} \cdot 5(m+n-4)}{m+n-4} $$
+$$ r = \frac{2(m+n-4)}{m+n-4} $$
+$$ r = 2 $$
+
+### 最终答案
+$\triangle ABF_1$ 的内切圆半径为 **2**。